Sobre cómo podemos simular la incertidumbre

“ Today’s market went up, but this information is not too relevant as it emanates mostly from noise”  -A fictional  journalist

Nassim Taleb, Fooled by Randomness

Una vez llegados a este punto deberíamos tener interiorizado que la Bolsa es un entorno de incertidumbre y azar. Así que, antes de nada deberíamos conocer de qué se trata o al menos intentarlo. Por suerte tenemos ordenadores que nos ayudarán mediante la posibilidad de generar simulaciones sobre el tema.

Si lanzamos una moneda al aire y ganamos 1€ si sale cara y  perdemos 1€ si sale cruz la mayoría de nosotros pensaría que a medida de que el número de intentos se haga cada vez más grande nuestro resultado sería cercano a cero. ¿Pero es así en realidad?

Veamos,

Este es el código en Python que simula el lanzamiento de la moneda:

def pathplay2(nn, win, loss, capital=100, bet=1): 
    n, p = 1, .5 
    temp = capital
    a = np.random.binomial(n, p, nn)
    rut=[]
    for n in a:
       if temp > capital/10: # definimos ruina 
       if n:
          temp= temp+win*bet
       else:
          temp = temp-loss*bet 
       rut.append(temp)
     return rut

 

El código simplemente lanza al aire la moneda virtual y añade un euro al capital si resulta cara o lo sustrae si sale  cruz hasta que acabe el número de intentos que definamos o el capital se reduzca a 1/4 del inicial, situación que definimos como quiebra. Utiliza la función random de numpy, que es muy potente, y usa uno de los generadores aleatorios más fiables y potentes ( Mersene-Twister) por lo que la salida de la función binomial es excelente.

Veamos un resultado:

rnd hist2016-08-14_13-59-58

Ésta es una gráfica típica de una trayectoria aleatoria de 300 jugadas. Lo primero que observamos es que tras 300 jugadas no estamos cerca de cero ganancias, sino que hemos ganado 25 euros, y que no hemos perdido en ninguna parte de ese juego de 300 jugadas.

Con eso podemos concluir que en un juego limitado se puede ganar incluso si no tenemos una ventaja a nuestro favor. ( pero también podemos perder)

En ella podemos ver líneas rectas largas, no interrumpidas. Son las famosas __rachas__ que cualquier jugador conoce, y que no es resultado de que un ángel de la guarda le esté ayudando. Es resultado natural de un proceso aleatorio.

Aproximadamente en la jugada 80 se ve una racha ganadora desde los 110€ a aprox 118€: 8 caras consecutivas. Anterior a esa hay un par de rachas negativas de casi 5 y 6 cruces consecutivas desde la jugada 60 que va de 117€ hasta los 110€. Hay otra mayor en a partir de la jugada 248 aprox. que va de 105€ hasta los 116€: 11 caras consecutivas.

Éstas son poco frecuentes. (he repetido la ejecución del código hasta hallar esta trayectoria para analizar este tema, pero no me llevó más de un minuto conseguirla) pero aún así en ésta hay una de 11 caras consecutivas y alguna más de 6 cruces consecutivas  lo cual significa que hay que estar preparado para este tipo de situaciones en cualquier sistema de bolsa. No es el sistema el que dejó de funcionar. Es una mala racha del sistema producto del azar

Si quisiéramos evitar estas rachas lo ideal sería diseñar un sistema que nos dé más probabilidad de acierto que el mero 50%. Cuanta más probabilidad de acierto menores rachas en contra tendríamos. Lo que sucede es que no es fácil logarlo sin bajar el ratio 1:1. Hay muchos sistemas que aciertan el 80% del tiempo, pero con un ratio de 0,5:1 o menor. Como veremos más adelante los sistemas altamente probabilistas en bolsa no son ideales. Es mejor centrarse en otros aspectos, como el ratio Beneficio:pérdida y la Esperanza matemática del sistema

¿Cómo se producen esas rachas?

Pierre Simón Laplace a finales del siglo XVIII estableció que la probabilidad de un evento era el Nº de formas en que el evento podía producirse dividido por en Nº total de clases de eventos posible.
Así, para el lanzamiento de un dado, tenemos que hay seis tipos de evento así que la probabilidad de cualquiera de ellos es de 1/6.
Para el caso del lanzamiento de moneda tenemos dos tipos de evento: cara o cruz, así que la probabilidad de cualquiera de ellos es 1/2.

También se sabe que la probabilidad de que A se dé junto con B es:

ProbA * ProbB (1)

Y la probabilidad de que cualquiera de los eventos A o B sucedan es:

ProbA + ProbB (2)

La suma de las probabilidades de todos los tipos de evento es siempre 1.

Para las rachas, en las que queremos que suceda una sucesión ininterrumpida de cruces se aplica la ecuación(1) dado que queremos ver si, tras salir cruz sucede otra cruz y otra etc.

Entonces dado que la probabilidad de cara o cruz es 1/2 (50%)
una racha de dos cruces es:

c1c2 = 1/2 * 1/2 = 1/4 (25%)

la de tres cruces es:

c1c2c3 = 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/4 * 1/2 = 1/8 (12,5%) y así sucesivamente:

c1c2c3c4 = 1/8 * 1/2 = 1/16 (6,25%) 

c1c2c3c4c5 = 1/16 * 1/2 = 1/32 (3,125%) 

y con cada cruz añadida a la racha su probabilidad es la mitad de la anterior.

Pero hay una probabilidad finita, aunque pequeña de que haya rachas de 10-20 cruces (o caras) seguidas, como hemos visto, y seguiría siendo una distribución válida para el juego de lanzamiento de moneda, como podemos ver en la simulación.

Este es el código para generar las historias, o trayectorias y generar la gráfica:

arr= []
numpaths=1 # número de historias
mynn= 300# define cuantas apuestas de cada historia

for n in range(0,numpaths):
    pat = pathplay2(mynn, 1,1, 100,1)
    arr.append(pat)
    with plt.style.context('ggplot'):
         fig, ax = plt.subplots(1, 1, figsize=(18, 5))
         for pat in arr:
            plt.plot(range(0,mynn),pat)
         plt.show()

Veamos varias trayectorias: 50 juegos comenzando con 100 euros y con 300 apuestas:

trayectorias 1 2016-08-14_14-07-46

Qué podemos observar aquí?

Que la media es cien. Es decir en promedio ganamos cero euros, pero cada historia es diferente y única.
Que hay ganadores  
Que hay perdedores  
Que tenemos un 50% de probabilidades de ganar o de perder.
Que si jugamos un juego así, la trayectoria de nuestra bolsa de dinero no es conocida y puede ser cualquiera de ellas; es decir, se puede ganar o perder dinero a pesar de que no haya ventaja, simplemente por azar (por ahora apostando 1 euro a la vez, sin incrementar nuestra apuesta)
Hay afortunados que llegan a ganar 50 euros en 300 juegos, y hay desafortunados que pierden 40 euros en 300 juegos
Que ni uno conserva las ganancias ni el otro las pérdidas si siguen jugando a no ser que haya un límite en el número de apuestas o el bolsillo del apostante tenga un límite de pérdidas.

En el caso habitual en que el apostante tenga un límite de pérdidas, un juego sin ventaja sigue dando la ventaja a la banca o casino.

Si girásemos la imagen  de arriba 90º la gráfica reproduce la posible trayectoria de 50 partículas de humo en condiciones de cero viento horizontal ( en dos dimensiones).

La serie continúa expandiéndose como una columna de humo horizontal ad infinitum. Los resultados están distribuidos según una distribución gaussiana y como tales la mayoría  de ellos están dentro de 2 desviaciones estándar, pero hay líneas con baja probabilidad que siguen ganando o perdiendo.

Esta es la imagen de 10.000 historias extendiéndose a las 1.000 apuestas en la que vemos que hay líneas afortunadas con cerca de 100 euros ganados, y líneas desafortunadas que pierden todo su dinero:

DIEZMIL2016-08-15_14-46-20También podemos simular un juego en que las probabilidades estén ligeramente en nuestra contra, digamos un 5%: o sea un ratio ganancia/pérdida de 0.95:1. La siguiente es un gráfico de diez mil historias y mil apuestas en esa “ruleta en contra”

probcontra-2016-08-15_14-54-40

La gráfica se parece mucho, pero la columna horizontal esta ligeramente inclinada hacia abajo. Esa es la forma en que gana un casino. En este caso gana en promedio 5 céntimos de cada euro apostado, aunque haya afortunados que ganen el juego.

Nuestra tarea en bolsa es diseñar juegos en los que la ventaja esté a nuestro favor, de forma que la columna de incline hacia arriba.

De este pequeño experimento podemos concluir:

  • que la incertidumbre no permite definir la trayectoria
  • que las rachas son consecuencia del azar, y por lo tanto inevitables.
  • que podemos perder dinero a pesar de no tener un juego en contra, de forma que si, además, tenemos las reglas en contra (como en loterías, bonolotos, cupon 11, ruleta etc) perdemos dinero (en promedio) a medida que seguimos jugando.

Recomiendo que jueguen con el código ustedes mismos y observen por sí mismos sus características, porque es importante tener interiorizado el comportamiento aleatorio.

Para ello deben instalar la distribución Anaconda de Python y recomiendo trabajar en los Notebooks de Júpiter que permiten jugar con el código desde la página web.

Instalación Anaconda

Proyecto Júpyter

Código:

pylab inline
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
def pathplay2(nn, win, loss, capital=100, bet=1): 
    n, p = 1, .5 
    temp = capital
    a = np.random.binomial(n, p, nn)
    rut=[]
    for n in a:
        if temp > capital/4: # definimos ruina como perder 3/4 del cap.
        if n:
           temp= temp+win*bet
        else:
           temp = temp-loss*bet 
        rut.append(temp)
    return rut


arr= []
numpaths=10000 # número de historias
mynn= 1000# define cuantas apuestas de cada historia

for n in range(0,numpaths):
    pat = pathplay2(mynn, 1,1, 100,1)
    arr.append(pat)
    with plt.style.context('ggplot'):
       fig, ax = plt.subplots(1, 1, figsize=(18, 7))
       for pat in arr:
           plt.plot(range(0,mynn),pat)
       plt.show()


 

 

 

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Nuestro universo no es lo que era

“Dios no juega a los dados” – Albert einstein

“Cierto.  Juega a la ruleta” – Anónimo

Para continuar nuestro avance es necesario que analicemos nuestras concepciones, nuestras creencias, sobre nuestra realidad, sobre cómo funciona nuestro universo. Porque a pesar de los avances científicos plenamente aceptados en este nuestro siglo XXI nuestra formación académica parece habernos educado como si el determinismo todavía fuese válido en nuestro mundo macroscópico.

Incluso hay quien cree que si tuviésemos conocimiento y capacidad para calcular todas las variables del universo seríamos capaces de predecir constantemente su futuro. Pero eso no es así y montones de científicos ya han demostrado que el universo no es predecible.

Pero pasemos a los hechos:

A  principios del siglo XX Max Planck, Werner Heisenberg e incluso Einstein se habían encontrado con que la mecánica de Newton y  la concepción del universo determinista de Pierre Simon Laplace no cuadraba con los resultados experimentales del mundo microscópico. El resultado de los experimentos de la doble rejilla evidenciaron que el mundo no se movía por ecuaciones ordinarias.

Esquema del Experimento:

YoungluzEbohr1_IP

 

Este experimento se usó inicialmente para demostrar la naturaleza ondulatoria de la luz. En él  en  a tenemos un foco de luz cuya onda se propaga a b y c.  La interferencia de las ondas provenientes de esos dos focos proyectan patrones de luz y oscuridad en la pared.

Claro y simple. ¿Qué de raro tiene eso? me diréis.  Pues que a algún científico con demasiado tiempo libre se le dió por hacer el mismo experimento con un haz de electrones en a , en vez de luz, y el patrón de luz y sombra se vovió a reproducir.

-Bueno, diréis, pues el electrón tiene también una naturaleza ondulatoria

-Cierto. Pero yendo más allá en el experimento, el científico desocupado decidió hacer el experimento disparando un electrón a la vez en vez de un haz contínuo; y, tras centenas de disparos, el patrón volvió a reproducirse.  Y haciéndolo con protones o  neutrones también se obtuvieron los mismos resultados.

-¿Pero cómo?

Sí, esa fue la pregunta del científico.( un tal Pier Giorgio Merli).

Algo debe de ir mal en el experimento o en nuestra idea de cómo funcionan las cosas, porque la única explicación a ese patrón de interferencia es que, dadas dos posibles trayectorias para la partícula, ésta fue por ambas trayectorias simultaneamente.

Wikipedia: experimento de la doble rejilla

Desde aquí las cosas se ponen feas para el determinismo. Heissemberg nos cuela el principio de indeterminación que afirma que no hay tu tía, y que por mucho que tuviésemos instrumentación ultraprecisa hasta el infinito, solo podemos medir la posición y velocidad de una partícula hasta una cierta precisión, y que si queremos ser más precisos en medir su posición perderemos precisión en la velocidad, y si queremos medir exactamente su velocidad no seremos capaces de saber su posición. Que esto es una característica del universo, no de nuestra naturaleza imperfecta.

Y eso tiene consecuencias que son medibles en un laboratorio: Por ejemplo, si quisiéramos enjaular a un electrón en una jaula demasiado pequeña ( conociendo su posición) su velocidad se dispararía hasta el infinito, y con ello su energía. Lo cual significa que necesitas une energía  infinita para retener al electrón en un punto. Y menos mal que es así, ya que la mecánica atómica no funcionaría si el núcleo fuese capaz de atrapar al electrón por la atracción eléctrica y ello permite que pueda orbitar el núcleo sin caer hacia él.

Y luego vino otro señor llamado Edwin Schroedinger y  nos saca una complicada ecuación que más tarde Max Born demuestra que hay que interpretar como una función de probabilidad sobre la posición, sobre el momento  o sobre la carga de la partícula. Es decir, al igual que en el experimento de la doble rejilla, solo tenemos una cierta probabilidad de que la partícula esté en una intervalo espacial determinado. Y al igual que en ese experimento, en realidad la partícula puede estar en todos esos lugares,  y al igual que en el experimento del gato, solo sabremos dónde está si abrimos la caja.

Las interpretaciones de esta nueva mecánica han sido varias. La más popular es la de los muchos mundos, que acepta el hecho de las múltiples trayectorias y afirma que cuando se colapsa la función de onda simplemente entramos en la realidad de uno de los posibles mundos y nos salimos de la realidad de los demás. Un multiverso que se bifurca cada segundo, cada lanzamiento de moneda, cada vez que un científico colapsa una onda.

Para curiosos, este enlace abunda sobre todas las interpretaciones:

Interpretaciones de la mecánica cuántica

-Y qué tiene que ver eso con la Bolsa. Yo no vine aquí para que me cuentes chorradas de física, que a mí en el colegio me la sudaba.

Pues la moraleja es que la Física te la sudaría, por eso en tu cabeza no entró otra concepción del universo que la que tenían los griegos hace dos siglos y medio ( si acaso) pero el Universo no se mueve por leyes deterministas y la Bolsa tampoco.

Muchos os creéis que si tuviésemos todos los conocimientos necesarios, todos los datos en nuestra mente de cada una de las empresas que cotizan seríamos capaces de predecir su trayectoria como si de una piedra lanzada al aire se tratase. Pero eso no es así, como tampoco somos capaces de predecir el movimiento de cada partícula de humo que sale de un cigarrillo a pasar de que podríamos conocer su posición y velocidad iniciales. Sencillamente no se puede. Podemos predecir el movimiento macroscópico del humo, pero no cada una de las partículas.

Así que demos un salto (cuántico)  y aceptemos que no podemos controlar los resultados de nuestras decisiones bursátiles. Cuando no resulta ser lo que pensábamos que iba a suceder no es por incompetencia, ni nos hace menos inteligentes ni nuestra auto-estima debe resentirse porque es la naturaleza de la bestia ser impredecible. Y eso es así porque la Bolsa es como el humo. Está compuesta de miles de partículas llamadas inversores, traders, robots automatizados, empresas de inversión, brokers etc etc. Son millones. Cada uno con sus intereses y concepciones propias, por lo tanto imposibles de predecir.

Veamos entonces la naturaleza del humo, mediante la realización de experimentos.

Para los que les ha quedado mono de más información sobre el tema merece que os paséis por:

http://eltamiz.com/2008/02/12/cuantica-sin-formulas-el-principio-de-incertidumbre-de-heisenberg-i/

y su continuación:

http://eltamiz.com/2008/02/17/cuantica-sin-formulas-el-principio-de-incertidumbre-de-heisenberg-ii/

http://eltamiz.com/2008/02/26/cuantica-sin-formulas-el-principio-de-incertidumbre-de-heisenberg-iii/

La imagen del experimento de doble rejilla fue tomada de:
http://wordpress.danieltubau.com/el-experimento-de-la-doble-rendija-1-ondas-la-filosofia-de-la-mecanica-cuantica-anexo-1/